参拾萬.ch/備忘録（短期間限定）のバックアップ(No.16)

2008.12.18. †

\documentclass[b5paper,10pt]{jsarticle}
\usepackage{usepackage}
\pagestyle{plain}

% ~~TEXT START~~ %
\begin{document}

\begin{itemfbox}{実関数のテイラー展開}
\begin{itemize}

	\item $e^x
	        = 1+ x
	          + \kfrac{x^2}{2!}
	          + \kfrac{x^3}{3!}
	          + \kfrac{x^4}{4!}
	          + \cdots $ ($|x|<\infty$)
	\item $\cos{x}
	        = 1
	          - \kfrac{x^2}{2!}
	          + \kfrac{x^4}{4!}
	          - \kfrac{x^6}{6!}
	          + \cdots $ ($|x|<\infty$)
	\item $\sin{x}
	        = x
	          - \kfrac{x^3}{3!}
	          + \kfrac{x^5}{5!}
	          - \kfrac{x^7}{7!}
	          + \cdots $ ($|x|<\infty$)
	\item $\cosh{x}
	        = 1
	          + \kfrac{x^2}{2!}
	          + \kfrac{x^4}{4!}
	          + \kfrac{x^6}{6!}
	          + \cdots $ ($|x|<\infty$)
	\item $\sinh{x}
	        = x
	          + \kfrac{x^3}{3!}
	          + \kfrac{x^5}{5!}
	          + \kfrac{x^7}{7!}
	          + \cdots $ ($|x|<\infty$)
	\item $\log{(1{+}x)}
	        = x 
	          - \kfrac{x^2}{2}
	          + \kfrac{x^3}{3}
	          - \kfrac{x^4}{4}
	          + \cdots $ ($|x|<1$)
	\item $\arctan{x}
	        = x
	          - \kfrac{x^3}{3}
	          + \kfrac{x^5}{5}
	          - \kfrac{x^7}{7}
	          + \cdots $ ($|x|<1$)

\end{itemize}
\end{itemfbox}

$x=iy$を代入して比較すると，次の関係式が得られる。
\begin{itemize}

	\item $\cos{iy}=\cosh{y}$，$\cosh{iy}=\cos{y}$
	\item $\sin{iy}=i\cdot\sinh{y}$，$\sinh{iy}=i\cdot\sin{y}$

\end{itemize}

\clearpage

\begin{itemfbox}{$e^z$の定義}

	\[ e^{x{+}iy}=e^{x}(\cos{y}+i\sin{y}) \]

\end{itemfbox}
\begin{itemize}

	\item $e^{x{+}iy}=e^{x{+}i(y{+}2\pi)}$ （周期性）
	\item $e^{iy}=\cos{y}+i\sin{y}$ と\ 
	      $e^{-iy}=\cos{y}-i\sin{y}$ より \\
	      $\cos{y}=\kfrac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}\left(=\cosh{iy}\right)$，
	      $\sin{y}=\kfrac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}\left(=\kfrac{\sinh{iy}}{i}\right)$\\
	      さらに，$y$を$iy$で置き換えれば \\
	      $\cos{iy}=\kfrac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\cosh{y}$，
	      $\sin{iy}=\kfrac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=-\kfrac{\sinh{y}}{i}=i\cdot\sinh{y}$ \\
	      （これらはテイラー展開から得られた結果と一致している）

\end{itemize}

\begin{itemfbox}{$\cos{z}$，$\sin{z}$の定義}

	複素数$z$に対しても
	$\cos{z}=\kfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$，
	$\sin{z}=\kfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ と定義する。
	\[ \begin{split}
	      \cos{(x{+}iy)}
	        &= \kfrac{e^{-y{+}ix}+e^{y{-}ix}}{2} \\
	        &= \kfrac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+e^{y}(\cos{(-x)}+i\sin{(-x)})}{2} \\
	        &= \kfrac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+e^{y}(\cos{x}-i\sin{x})}{2} \\
	        &= \cos{x}\cdot\kfrac{e^{-y}+e^{y}}{2}+i\sin{x}\cdot\kfrac{e^{-y}-e^{y}}{2} \\
	        &= \cos{x}\cosh{y}-i\sin{x}\sinh{y} \\
	        &= \cos{x}\cos{iy}-\sin{x}\sin{iy} \\
	      \sin{(x{+}iy)}
	        &= \sin{x}\cos{iy}+\cos{x}\sin{iy}
	   \end{split} \]

\end{itemfbox}

\end{document}

↑

2008.12.09. †

10進ソレノイド

↑

2008.11.27. †

円周率
http://www.kisaragiweb.jp/pi/index.htm （100万桁）
ftp://pi.super-computing.org/pub/pi10m/pi10m.ascii.01of10 （100万桁）
http://3.1415926.com/ （何桁？）
http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.jp/ （何桁？）
http://314.uw.hu/ （何桁？）
http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/ （ドラムの動画）

↑

2008.11.24. †

手書き屋本舗フォント
TA雅（みやび）
TAやす爺字
TA弓削名人
TAさとし
TA雨宿り01
TA笑顔01
TAマダム
TAなすび
TAつらら
TA男爵
TAポップ長谷川
TAりえこ
TAまさあき

↑

2008.11.03. †

http://www.xmath.ous.ac.jp/~shimeno/euler/euler.pdf

↑

2008.10.28. †

↑

2008.10.26. †

> （黄金比の4乗）＋（黄金比の-4乗）＝7 
偶数乗だと整数になりますね。 

黄金比の一般解 
(n+√(n^2+4))/2 
n=1のとき黄金比、n=2のとき白銀比、n=3のとき赤銅比、… 
を踏まえて、 
( (x+√(x^2+4))/2)^2y + (2/(x+√(x^2+4)))^2y は整数

（参考： http://mixi.jp/view_bbs.pl?id=36393648&comment_count=5&comm_id=63370 http://www.doblog.com/weblog/myblog/30339/2603489#2603489 ）

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